Growth rate of the children of Israel in Egypt

Reading the bible I've found some things that I'd like to share, about the growth rate of the children of Israel ein Egypt.

According to Genesis 46:27: "And the sons of Joseph who were born to him in Egypt were two persons. All the persons of the house of Jacob who went to Egypt were seventy."

And Numbers 1:45-46: " So all who were numbered of the children of Israel, by their fathers' houses, from twenty years old and above, all who were able to go to war in Israel--all who were numbered were six hundred and three thousand five hundred and fifty."

And Numbers 1:1: "Now the Lord spoke to Moses in the Wilderness of Sinai, in the tabernacle of meeting, on the first day of the second month, in the second year after they had come out of the land of Egypt, saying:"

So, taking this data it is not hard to see that in 430 years, 70 were multiplied to 603550, giving a growth rate of 0.0212982635902, it means 2,1%.

Today, wikipedia says: "The CIA World Factbook gives the world annual birthrate, mortality rate, and growth rate as 1.89%, 0.79%, and 1.096% respectively.[5] The last 100 years have seen a rapid increase in population due to medical advances and massive increase in agricultural productivity[6] made possible by the Green Revolution.[7][8][9]"

So, the growth rate of the children of Israel in Egypt was 2 times the current growth rate of world population taking account that today we have medical advances! Is it not amazing?

PD: as an attachment I've wrote some code in python to see the number of people of Israel in the 430 years

def fu(pob, grow, delta_t):
 i_delta_t = int(delta_t)
 for i in range(i_delta_t+1):
  if i%10==0:
   print "year",i,"->",pob
  pob*=grow

Here is the output(this is every 50 years):

year 0 -> 70.0
year 50 -> 200.783359284
year 100 -> 575.913676647
year 150 -> 1651.91260935
year 200 -> 4738.23661356
year 250 -> 13590.8437765
year 300 -> 38983.0752706
year 350 -> 111816.468686
year 400 -> 320726.945802
year 410 -> 395969.179647
year 420 -> 488863.169379
year 430 -> 603550.0

Sherlock Homes y el problema del caballo

Después de un rato jugar el videojuego The testament of Sherlock Holmes me encontré con este acertijo conocido.

Se trata del tour del caballo como las máquinas sirven para hacer prueba y error dejé la consola y encendí el PC para escribir la solución a este.

Hay que decir que este problema es bastante sencillo de resolver para tableros pequeños y basta con un dfs o backtracking y se obtienen no sólo una sino todas las soluciones posibles :)

Así pues la idea básica del algoritmo es:


Guardar los deltas de los movimientos en alguna estructura puede ser un arreglo.

función solución(f, c, cam, vis):
  si ya visitó todas las casillas imprima cam y retorne
  para cada movimiento:
    si es posible(no se ha realizado y no se sale del tablero)
      movf = f+deltaf iésimo
      movc = c+deltac iésimo
      solución(movf, movc, cam+(movf+movc), vis+(movf+movc))
      remover movf y movc de cam y de vis

y la llamada inicial sería algo como

solucíon(0,0,'',estruc)
donde estruc es alguna estructura que permita eficientemente controlar qué casillas ya se han visitado.


Si se usa un conjunto se puede saber cuántas se han visitado aunque con una matriz también funcionaría se necesitaría un contador como parámetro adicional.

Que se diviertan!

Búsqueda binaria

Hola, en muchas ocasiones tendremos que escribir una búsqueda binaria y deberemos tener el concepto claro, ya que no siempre se puede ver tan fácilmente que el problema que debemos solucionar, se puede resolver con una búsqueda binaria.

Primero que todo hay que aclarar, la búsqueda binaria, nos sirve para eso, buscar. Segundo, la restricción para usar la búsqueda binaria es que los elementos estén ordenados. Tercero, si queremos obtener un beneficio de esta, debe realizarse sobre una estructura a la cual se pueda acceder a cualquier elemento en tiempo constante, es decir O(1).

La idea del algoritmo está basado en el paradigma divide y vencerás. Divide y vencerás viene de los romanos, ya no recuerdo por qué, pero lo importante es la idea detrás. Se suele hablar de dividir un problema en subproblemas y de esta forma resolverlos más fácilmente. En la búsqueda binaria se aplica simplemente dividiendo el arreglo en dos, olvidando lo que no nos interesa y centrándonos en lo que sí.

Si tenemos un arreglo y sabemos que está ordenado, por ejemplo:

1 3 6 8 9 11 15

y necesitamos buscar el número 9 y hacemos una búsqueda lineal(iterar uno por uno) tendríamos que hacer 6 iteraciones. Sin embargo, si nos damos cuenta, no es necesario iterar por cada uno y verificar que sea el número que buscamos, por ejemplo, si estamos en la mitad(número 8) sabremos que si el valor que buscamos está en el arreglo tendría que estar a la derecha, y no es necesario buscarlo en la mitad de la izquierda. De esta forma ya nos habremos olvidado de la mitad del arreglo. Luego, podríamos, ¿por qué no?, hacer lo mismo con el arreglo resultante y verificar si el número está en este arreglo, ¿cómo? mirando si es el valor de la mitad el que buscamos. Se recomienda que se haga por cuenta propia el intento de escribir el código que realiza esto, lo cual no es muy complicado. A continuación el pseudocódigo:

Por la ley de la tricotomía, para los enteros se cumple que solo puede entrar a un if de los mostrados anteriormente, y como de una u otra forma, en los computadores sólo trabajamos con valores enteros, entonces podemos estar tranquilos.

Escribir esto en código no es muy complicado, solo hay que tener cuidado de no enredarse, ya sea por desesperación o apuro se pueden cometer errores tontos :)

Finalmente, al dividir el arreglo en dos cada vez, estamos obteniendo una complejidad de O(log(n)) lo cual es lo suficientemente rápido para valores muy grandes. Digamos 10**1000 tiene 1000 dígitos y aún así podríamos buscar un valor en 3321 iteraciones, lo cual no es nada comparado con la cantidad de elementos en total.

Si no tenemos los elementos ordenados, tendremos que pensarlo dos veces, ya que la forma más rápida de ordenar es lineal, es decir O(n), pero con ciertas restricciones y para propósito general tenemos O(n*log(n))

En el siguiente link pueden encontrar implementaciones en varios lenguajes de programación:  http://www.codecodex.com/wiki/Binary_search

Información adicional:
http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html
http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binarySearch

Criba de Eratostenes

Hola, antes habia puesto un par de algoritmos para saber si un numero era primo, pero y si queremos saber la cantidad de primos en un intervalo dado? Tardariamos mucho si el intervalo es muy grande. Asi que lo mejor para este caso es usar el algoritmo de la criba de eratostenes.

Lo que se hace, es tomar un primo y tachar todos los multiplos de ese primo, luego tomamos el siguiente numero no tachado(que seria un primo) y eliminamos todos sus multiplos, y asi sucesivamente, hasta que todos los no primos se hayan tachado en el intervalo. Pero como sabemos eso? Pues bien, esto lo sabemos porque como se dijo antes solo necesitamos iterar hasta la raiz de un numero para saber si es primo. Es decir que cuando lleguemos a la raiz del maximo numero del intervalo habremos eliminado todos los no primos.

Asi pues, el algoritmo en java para hacer esto seria:

public static boolean criba(int n){
 boolean primos[] = new boolean[n+1];
 Arrays.fill(primos,true);
 primos[0] = primos[1] = false;
 for(int i=2;i<(int)Math.sqrt(n)+1;i++)
  if(primos[i])
   for(int j=i*i;j<primos.length;j+=i)
    primos[j] = false;
 return primos;
}

Con el primer ciclo recorremos los numeros hasta la raiz cuadrada, y con el segundo tachamos sus multiplos si el numero "i" es primo. De esta forma los valores que queden en true seran los primos, es decir primos[2] sera true.

El algoritmo en C podria ser algo como lo siguiente:

char* criba(int n){
 char *p = (char*)malloc((n+1)*sizeof(char));
 memset(p,' ', n+1);
 n = n+1;
 int i=0,j=0;
 int f = sqrt((double)n)+1;
 p[0] = p[1] = 'n';
 for(i=0;i<f;i++)
  if(p[i]==' ')
   for(j=i*i;j<n;j+=i)
    p[j]='n';
 return p;
}

Y en C los valores que queden con una 'n', no seran primos y los que queden con ' ' seran los primos, eso ya es de gustos :)

Si hay alguna pregunta o algo que agregar, comenten.

PD: les dejo unos cuantos problemas en los cuales hay que aplicar la criba para resolverlos.
http://www.codechef.com/problems/PRPALIN
http://projecteuler.net/problem=7
http://projecteuler.net/problem=10
http://projecteuler.net/problem=249

Exponenciacion binaria y modular

Hola, estuve haciendo un par de cosas y tuve que usar un algoritmo de exponenciacion binaria y modular pero no queria que fuera recursivo asi que luego de algunos intentos, esto fue lo que consegui, espero les pueda servir de ayuda, tanto como a mi(aunque esta en java se entiende si manejas otro lenguaje :P) :

public static int expomod(int a, long b,int mod){
    int res = 1;
    while(b>0){
        if((b&1)==1)
            res=(a*res)%mod;
    b>>=1;
    a=((a%mod)*(a%mod))%mod;
    }
return res;
}

y el algoritmo en python es:

def ex(a, b,m):
     r = 1
     while(b):
             if(b&1):
                     r = (r*a)%m
             b>>=1
             a = ((a%m)*(a%m))%m
     return r

La verdad luego de ver el algoritmo recursivo, se entiende este. Lo que se hace es cambiar la recursividad a las variables, por decirlo de alguna forma. Saludos y espero sus comentarios!

Un buen tutorial donde se tratan a fondo otros algoritmos relacionados es este de topcoder.

Nota: un problema en donde se puede aplicar este algoritmo es este.